New PDF release: Analysis 1

By Forster, O.

ISBN-10: 3834803952

ISBN-13: 9783834803955

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D. 2) falsch, so g¨abe es ein x ∈ N mit 0 = ν(x) = x + 1, also x = −1. 4) ist −1 < 0, im Widerspruch zu x 0. Somit sind alle Peano-Axiome erf¨ullt. Man kann zeigen, dass durch die PeanoAxiome die nat¨urlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt sind. Wir werden deshalb N und N identifizieren. 3) das Prinzip der vollst¨andigen Induktion. Denn sei A(n) f¨ur jedes n ∈ N eine Aussage. Wir definieren M als die Menge aller n ∈ N, f¨ur die A(n) wahr ist. ii) den Induktions-Schritt. h. A(n) ist wahr f¨ur alle n ∈ N.

Setze ε := |a − b|/2. Dann gibt es nach Voraussetzung nat¨urliche Zahlen N1 und N2 mit |an − a| < ε f¨ur n N1 und |an − b| < ε f¨ur n N2 . F¨ur n := max(N1 , N2 ) gilt dann sowohl |an −a| < ε als auch |an −b| < ε. Daraus folgt mit der Dreiecks-Ungleichung |a − b| |a − an | + |an − b| < 2ε = |a − b| , also der Widerspruch |a − b| < |a − b|. Es muss also doch a = b sein. H¨aufig benutzt man bei der Untersuchung der Konvergenz von Folgen nicht direkt die Definition, sondern f¨uhrt die Konvergenz nach gewissen Regeln auf schon bekannte Folgen zur¨uck.

Die Folge kann nicht gegen a konvergieren. 4) lim = 1. Zu ε > 0 w¨ahlen wir ein N ∈ N mit N > 1/ε. Damit ist n→∞ n + 1 n 1 −1 = < ε f¨ur alle n N . 5) lim n n→∞ 2n = 0. Beweis. F¨ur alle n > 3 gilt n2 2n , wie man durch vollst¨andige Induktion beweist (vgl. 1). Daraus folgt n2 n 1 1, also . 2n 2n n Sei ε > 0 vorgegeben und N > max(3, 1/ε). d. Bevor wir die n¨achsten Beispiele behandeln, f¨uhren wir noch einen weiteren wichtigen Begriff ein. Definition (Beschr¨anktheit von Folgen). Eine Folge (an)n∈N reeller Zahlen heißt nach oben (bzw.

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Analysis 1 by Forster, O.


by Daniel
4.2

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