Download PDF by Thomas Bauer: Analysis - Arbeitsbuch: Bezüge zwischen Schul- und

By Thomas Bauer

ISBN-10: 383481914X

ISBN-13: 9783834819147

ISBN-10: 3834823120

ISBN-13: 9783834823120

Schulmathematik und universitäre Mathematik – zwei getrennte Welten? Das vorliegende Buch begegnet dieser Frage mit einem neuen Konzept: Es bietet Schnittstellenaufgaben, die in den zentralen Themenbereichen der research vielfältige Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik herstellen und diese für das Mathematiklernen nutzbar machen.

- Schnittstellenaufgaben greifen Vorstellungen aus der Schulmathematik auf und nutzen diese, um Begriffsbildungen und Konzepte der Hochschulmathematik besser zu verstehen.

- Umgekehrt zeigen sie, dass die Instrumente der Hochschulmathematik Möglichkeiten bieten, Schulmathematik tiefer zu durchdringen und sie auch dort zu erklären, wo in der Schule Plausibilitätsbetrachtungen genügen müssen.

Ausführliche kommentierte Lösungsvorschläge unterstützen dabei den Lernprozess.

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In Unterrichtswerken wird der Zusammenhang zwischen Sekanten und Tangenten h¨ aufig am Beispiel von quadratischen Polynomen x → αx2 + βx + γ eingef¨ uhrt (mit α, β, γ ∈ R und α = 0). « ¨ berpr¨ • U ufen Sie, dass diese Aussage f¨ ur quadratische Funktionen in der Tat richtig ist. • Geben Sie ein Beispiel einer Funktion, bei der diese Aussage nicht richtig ist. • Warum gibt es aber immer eine Stelle c zwischen a und b, so dass die Sekante zur Tangente in c parallel ist? 58 2. 2 Die Ableitung der Umkehrfunktion Was sollten Sie schon kennen?

Die genannte Eigenschaft bedeutet also, in einer Gleichung ausgedr¨ uckt, b a = . a b−a 26 1. Funktionen, Folgen und Grenzwerte F¨ ur den Quotienten q := b a liefert dies die quadratische Gleichung q2 = q + 1 . Deren positive L¨ osung √ 1+ 5 2 ist die gesuchte Zahl. d) Grenzwert der n-ten Wurzeln. Dass limn→∞ fn = ∞ gilt, folgt z. B. daraus, dass fn n f¨ ur alle n ∈ N gilt (was man sofort durch Induktion nachweisen kann). Wir nutzen nun – mit den Abk¨ urzungen α und β aus (c) – die explizite Darstellung 1 fn = √ (αn − βn ) 5 und werden zeigen, dass lim n fn = α n→∞ gilt.

Sie sch¨ arfen Ihre Vorstellungen zur Interpretation der Ableitung mittels Sekanten und Tangenten. Aufgabe Welche der folgenden Vorstellungen zum Ableitungsbegriff sind zutreffend, bei welchen handelt es sich um Fehlvorstellungen? Erl¨ autern Sie jeweils, warum die Vorstellung zutreffend ist bzw. worin die Fehlvorstellung besteht. a) Die Ableitung f (a) einer differenzierbaren Funktion f : R → R in einem Punkt a ∈ R gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (a, f(a)) an. b) Es sei f : R → R.

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by Jeff
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